asymptoter och derivatet

X

Sekretess & Cookies

den här webbplatsen använder cookies. Genom att fortsätta godkänner du deras användning. Läs mer, inklusive hur du kontrollerar cookies.

fick det!

annonser

vad berättar en asymptot av derivatet om funktionen? Hur visas asymptoter av en funktion i grafen för derivatet?

ett av mina mest lästa inlägg läser derivatets graf, som först publicerades för sju år sedan. Den långa titeln är ” här är grafen för derivatet; berätta om funktionen.”Det berättar hur man snabbt hittar information om grafen för en funktion från derivatets graf. Jag fick en fråga från en läsare nyligen som frågade om asymptoter och derivatet, ett ämne som jag inte täckte i det inlägget. Så, jag försökte hitta förhållandet. Det korta svaret är att en asymptot av derivaten inte berättar mycket om grafen för funktionen. (Det är förmodligen varför tanken aldrig har testats på AP-Kalkylproven.)

ändå finns det en del beräkningar att lära sig här. Du kanske kan hitta några frågor för dina elever att undersöka om detta ämne. Här är vad jag bestämde.

innan vi börjar, här är två termer som är användbara, men inte vanligt förekommande.

  • en jämn vertikal asymptot är en för vilken funktionen ökar eller minskar utan gräns på båda sidor av asymptoten. Med andra ord, när x närmar sig a närmar sig funktionen oändlighet eller negativ oändlighet från båda sidor. Funktionen f \ vänster (x \ höger) = \frac{1} {{{{{\vänster ({x-2} \ Höger)}}^{2}}}} har en jämn vertikal asymptot vid x = 2. (Figur 1)
  • en udda vertikal asymptot är en för vilken funktionen ökar utan bindning på ena sidan och minskar utan bindning på den andra. Funktionen g\left( x \right)=\frac{1}{{x-2}} har en udda vertikal asymptot vid x = 2. (Figur 2) på samma sätt har tangent -, cotangent -, secant-och cosecant-funktionerna udda vertikala asymptoter.

om en funktion har en udda vertikal asymptot, kommer dess derivat att ha en jämn vertikal asymptot. (Be eleverna förklara varför.)

om en funktion har en jämn vertikal asymptot, kommer dess derivat att ha en udda vertikal asymptot. (Be eleverna förklara varför.)

samtalen av dessa två uttalanden är falska. Det vill säga en vertikal asymptot av derivatet indikerar inte nödvändigtvis en asymptot av funktionen. Fångsten är kontinuitet.

kontinuerliga funktioner

om derivatet finns vid x = A, är funktionen kontinuerlig där. Men eftersom vi överväger asymptoter av derivatet kan vi inte veta från derivatet ensam om funktionen är kontinuerlig där derivatet har en asymptot.

en enkel cusp är en situation där grafen vid en extrem punkt är tangent till en vertikal linje. Se Figur 3. (Eller man kan säga att tangentlinjerna från varje sida sammanfaller. Här begränsar vi diskussionen till en vertikal tangentlinje.) En kontinuerlig funktion som har en cusp visar en udda vertikal asymptot på dess derivatdiagram.

ett exempel är\displaystyle h\vänster( x \höger)=\sqrt{{{{{\vänster( {x-2} \ Höger)}}^{2}}}}+1 som har en cusp vid punkten (2,1). (Figur 3).

en kontinuerlig funktion som har en vertikal tangentlinje inte en cusp, har en jämn vertikal asymptot på derivatets graf. Till exempel k \ vänster (x \ höger) = {{\vänster ({x-2} \ höger)}^{{1/3}}}+1 vid (2,0) (Figur 4).

Om du får grafen för derivatet och det visar en vertikal asymptot vid x = a, och du vet att funktionen är kontinuerlig där, indikerar

  • en udda vertikal asymptot för derivatet cusp på grafen för funktionen. Detta kommer också att vara ett extremt värde. (Be eleverna förklara varför.)
  • en jämn vertikal asymptot av derivatet indikerar vertikal tangentlinje på grafen för funktionen, men inte ett extremt värde. (Be eleverna förklara varför.)

förutom dessa finns det inget enkelt sätt att berätta vilken situation som producerade en asymptot på derivatet.

funktioner som inte är kontinuerliga

Om funktionen inte är kontinuerlig vid x = a, blir det mycket mer komplicerat.

  • Om funktionen inte är kontinuerlig vid x = a, kan en jämn vertikal asymptot av derivatet indikera en udda vertikal asymptot på grafen för funktionen. Det finns inget sätt att vara säker.
  • Om funktionen inte är kontinuerlig vid x = a, kan en udda vertikal asymptot av derivatet indikera en jämn vertikal asymptot på grafen för funktionen. Det finns inget sätt att vara säker.

Tänk på denna funktion: \ displaystyle z \ vänster (x \ höger)= \ vänster \ { {\begin{array} {*{20}{c}} {\sqrt {{{{{\vänster ({x-2} \ Höger)}}^{2}}}}-1} {x2} \ \ {\sqrt {{{{{\vänster ({x-2} \ Höger)}}^{2}}}}+1} {x \ ge 2} \ end{array}} \ höger.

se Figur 5. Funktionen är definierad för alla reella tal och har en hoppdiskontinuitet vid x = 2. Derivatet har en udda vertikal asymptot där: \displaystyle \underset{{x\till 2-}}{\mathop{{\lim}}\, {z}'\vänster( x \höger)=-\infty'\left( x \right)=-\infty och \displaystyle \underset{{x\till 2+}} {\mathop{{\lim}}}\, {Z}'\vänster( x \höger)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Jämför detta med h(x) ovan.

faktum är att\displaystyle {H}' \ vänster (x \ höger) = {z}' \ vänster (x \höger)= \ tfrac{2}{3} {{\vänster ({x-2} \ höger)}^{{-1/3}}},x \ ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Gå figur.

Lämna en kommentar