asimptotele și derivatele

X

Privacy& Cookies

acest site folosește cookie-uri. Continuând, sunteți de acord cu utilizarea lor. Aflați mai multe, inclusiv cum să controlați cookie-urile.

am înțeles!

reclame

ce vă spune un asimptot al derivatului despre funcție? Cum apar asimptotele unei funcții în graficul derivatului?

una dintre cele mai citite postări ale mele este citirea graficului derivatului, publicat pentru prima dată acum șapte ani. Titlul lung este ” Iată graficul derivatului; spune-mi despre funcție.”Se spune cum să găsiți rapid informații despre graficul unei funcții din graficul derivatului. Am primit recent o întrebare de la un cititor care a întrebat despre asimptote și derivatul, un subiect pe care nu l-am acoperit în acea postare. Așa că am încercat să găsesc relația. Răspunsul scurt este că o asimptotă a derivatelor nu vă spune prea multe despre graficul funcției. (Acesta este probabil motivul pentru care ideea nu a fost niciodată testată la examenele de calcul AP.)

cu toate acestea, există unele calcule care trebuie învățate aici. Este posibil să puteți găsi câteva întrebări pe care elevii dvs. să le investigheze pe această temă. Iată ce am determinat.

înainte de a începe, aici sunt doi termeni care sunt utile, dar nu frecvent utilizate.

  • o asimptotă verticală uniformă este una pentru care funcția crește sau scade fără limită pe ambele părți ale asimptotei. Cu alte cuvinte, pe măsură ce x se apropie de a Funcția se apropie de infinit sau infinit negativ din ambele părți. Funcția F \ stânga (x \dreapta)=\frac{1} {{{{{\stânga ({x-2} \ dreapta)}}^{2}}}} are o asimptotă verticală uniformă la x = 2. (Figura 1)
  • un asimptot vertical impar este unul pentru care funcția crește fără legătură pe o parte și scade fără legătură pe cealaltă. Funcțiag\stânga( x \dreapta)=\frac{1}{{x-2}} are o asimptotă verticală impară la x = 2. (Figura 2) de asemenea, funcțiile tangente, cotangente, secante și cosecante au asimptote verticale impare.

dacă o funcție are o asimptotă verticală impară, atunci derivata sa va avea o asimptotă verticală uniformă. (Cereți elevilor să explice de ce.)

dacă o funcție are o asimptotă verticală uniformă, atunci derivata sa va avea o asimptotă verticală impară. (Cereți elevilor să explice de ce.)

conversatiile acestor doua afirmatii sunt false. Adică, o asimptotă verticală a derivatului nu indică neapărat o asimptotă a funcției. Captura este continuitatea.

funcții continue

dacă derivata există la x = a, atunci funcția este continuă acolo. Dar, deoarece avem în vedere asimptote ale derivatului, nu putem ști doar din derivat dacă funcția este continuă Acolo unde derivata are o asimptotă.

un vârf simplu este o situație în care la un punct extrem graficul este tangent la o linie verticală. A Se Vedea Figura 3. (Sau, ați putea spune, liniile tangente din fiecare parte coincid. Aici vom limita discuția la o linie tangentă verticală.) O funcție continuă care are un vârf va arăta un asimptot vertical impar pe graficul derivatei sale.

Un exemplu este \ displaystyle H \ stânga (x \ dreapta) = \ sqrt {{{{{\stânga ({x-2} \ dreapta)}}^{2}}}}+1 care are un vârf la punctul (2,1). (Figura 3).

o funcție continuă care are o linie tangentă verticală nu un vârf, are o asimptotă verticală uniformă pe graficul derivatei sale. De exemplu, k\stânga (x \ dreapta) = {{\stânga ({x-2} \ dreapta)}^{{1/3}}}+1 la (2,0) (Figura 4).

Dacă vi se dă graficul derivatei și arată o asimptotă verticală la x = a și știți că funcția este continuă acolo, atunci

  • o asimptotă verticală impară a derivatei indică cuspida pe graficul funcției. Aceasta va fi, de asemenea, o valoare extremă. (Cereți elevilor să explice de ce.)
  • o asimptotă verticală uniformă a derivatei indică linia tangentă verticală pe graficul funcției, dar nu o valoare extremă. (Cereți elevilor să explice de ce.)

în afară de acestea, nu există o modalitate ușoară de a spune ce situație a produs o asimptotă pe derivată.

funcții care nu sunt continue

dacă funcția nu este continuă la x = a, atunci lucrurile devin mult mai complicate.

  • dacă funcția nu este continuă la x = a, atunci o asimptotă verticală uniformă a derivatei poate indica o asimptotă verticală impară pe graficul funcției. Nu avem cum să fim siguri.
  • dacă funcția nu este continuă la x = a, atunci o asimptotă verticală impară a derivatei poate indica o asimptotă verticală uniformă pe graficul funcției. Nu avem cum să fim siguri.

luați în considerare această funcție: \ displaystyle z\stânga( x \dreapta) = \ stânga \ { {\begin {array} {*{20}{c}} {\sqrt{{{{{\stânga ({x-2} \ dreapta)}}^{2}}}}-1} {x2} \ \ {\sqrt {{{{{\stânga ({x-2} \ dreapta)}}^{2}}}}+1} {x \ ge 2} \ sfârșit{matrice}} \ dreapta.

a se vedea Figura 5. Funcția este definită pentru toate numerele reale și are o discontinuitate de salt la x = 2. Derivata are o asimptotă verticală impară acolo: \displaystyle \underset{{x\la 2-}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\stânga( x \dreapta)=-\infty'\left( x \right)=-\infty și \displaystyle \underset{{x\la 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\stânga( x \dreapta)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Comparați acest lucru cu h (x) de mai sus.

de fapt, \ displaystyle {h}'\stânga( x \dreapta)={z}'\stânga( x \dreapta)=\tfrac{2}{3}{{\stânga ({x-2} \ dreapta)}^{{-1/3}}},x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Du-te figura.

Lasă un comentariu