Asymptotes and the Derivative

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o que é que uma assintota do derivado lhe diz sobre a função? Como as assimptotas de uma função aparecem no gráfico da derivada?

uma das minhas publicações mais lidas é ler o gráfico da derivada, publicado pela primeira vez há sete anos. O título longo é ” aqui está o gráfico da derivada; fale – me sobre a função.”Ele diz como encontrar rapidamente informações sobre o grafo de uma função a partir do grafo da derivada. Eu recebi uma pergunta de um leitor recentemente que fez sobre assintotas e a derivada, um tópico que eu não cobri naquele post. Então, tentei encontrar a relação. A resposta curta é que uma assintota dos derivados não lhe diz muito sobre o gráfico da função. (É provavelmente por isso que a idéia nunca foi testada nos exames de cálculo AP.)

no entanto, há alguns cálculos a serem aprendidos aqui. Você pode ser capaz de encontrar algumas perguntas para seus alunos para investigar sobre este tópico. Eis o que determinei.

Antes de começarmos, Aqui estão dois termos que são úteis, mas não comumente usados.

  • uma assintota vertical uniforme é aquela para a qual a função aumenta ou diminui sem limite em ambos os lados da assintota. Em outras palavras, como x se aproxima de uma função aproxima-se do infinito ou do infinito negativo de ambos os lados. A função f\left( x \right)=\frac{1}{{{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}}} tem uma assíntota vertical em x = 2. (Figura 1)
  • uma assintota vertical ímpar é uma para a qual a função aumenta sem ligação de um lado e diminui sem ligação do outro. A função g\left (x \right) = \frac{1} {{{x-2}}} tem uma assintota vertical ímpar em x = 2. (Figura 2) da mesma forma, as funções tangente, cotangente, secante e cosecante têm assintotas verticais ímpares.

Se uma função tem uma estranha assíntota vertical, então a sua derivada terão ainda uma assíntota vertical. (Peça aos seus alunos para explicar o porquê.)

If a function has an even vertical asymptote, then its derivative will have an odd vertical asymptote. (Peça aos seus alunos para explicar o porquê.)

os conversos destas duas afirmações são falsos. Isto é, uma assintota vertical da derivada não necessariamente indica uma assintota da função. A contrapartida é a continuidade.

Funções contínuas

Se a derivada existe em x = a, então a função é contínua lá. Mas, uma vez que estamos considerando as assimptotas da derivada, não podemos saber apenas da derivada se a função é contínua onde a derivada tem uma assintota.

uma cúspide simples é uma situação na qual em um ponto extremo o grafo é tangente a uma linha vertical. Ver Figura 3. (Ou, você poderia dizer, as linhas tangentes de cada lado são coincidentes. Aqui limitaremos a discussão a uma linha tangente vertical.) Uma função contínua que tem uma cúspide irá mostrar uma assintota vertical ímpar no grafo de sua derivada.

um exemplo é\displaystyle h\left (x \right) = \sqrt {{{{{{{{{{\left ({x-2} \right)}}^{2}}}}+1 que tem uma cúspide no ponto (2,1). (Figura 3).

uma função contínua que tem uma linha tangente vertical Não uma cúspide, tem uma assintota vertical uniforme no grafo de sua derivada. Por exemplo, k\left( x \right)={{\left ({x-2} \right)}^{{1/3}}}+1 em (2,0) (Figura 4).

Se você é dado o gráfico da derivada e ele mostra uma assíntota vertical em x = a, e você sabe que a função é contínua e há, em seguida,

  • um estranho assíntota vertical do derivado indica cusp no gráfico da função. Isto também será um valor extremo. (Peça aos seus alunos para explicar o porquê.)
  • uma assintota vertical uniforme da derivada indica linha tangente vertical no gráfico da função, mas não um valor extremo. (Peça aos seus alunos para explicar o porquê.)

diferente destes, não há nenhuma maneira fácil de dizer que situação produziu uma assintote sobre a derivada.

Funções que não são contínuas

Se a função não é contínua em x = a, então as coisas ficam muito mais complicadas.

  • If the function is not continuous at x = A, then an even vertical asymptote of the derivative may indicate an odd vertical asymptote on the graph of the function. Não há como ter a certeza.
  • If the function is not continuous at x = A, then an odd vertical asymptote of the derivative may indicate an even vertical asymptote on the graph of the function. Não há como ter a certeza.

Considerar esta função: \displaystyle z\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}}}-1} {x2} \\ {\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}}}+1} {x\ge 2} \end{array}} \right.

ver Figura 5. A função é definida para todos os números reais e tem uma descontinuidade de salto em x = 2. A derivada tem uma estranha assíntota vertical ali: \displaystyle \underset{{x\to 2-}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\frac'\left( x \right)=-\infty e \displaystyle \underset{{x\to 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\frac'\left( x \right)=-\infty . Compare isto com h(x) acima.

Na verdade,\displaystyle {h}'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Quem diria.

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