asymptoten en de afgeleide

X

Privacy & Cookies

deze website maakt gebruik van cookies. Door verder te gaan, gaat u akkoord met het gebruik ervan. Meer informatie, waaronder het beheren van cookies.

heb het!

advertenties

Wat vertelt een asymptoot van de afgeleide u over de functie? Hoe verschijnen asymptoten van een functie in de grafiek van de afgeleide?

een van mijn meest gelezen berichten is het lezen van de afgeleide grafiek, voor het eerst gepubliceerd zeven jaar geleden. De lange titel is ” hier is de grafiek van de afgeleide; vertel me over de functie.”Het vertelt hoe je snel informatie kunt vinden over de grafiek van een functie uit de grafiek van de afgeleide. Ik kreeg onlangs een vraag van een lezer die vroeg over asymptoten en de afgeleide, een onderwerp dat ik niet behandeld in dat bericht. Ik probeerde de relatie te vinden. Het korte antwoord is dat een asymptoot van de afgeleiden je niet veel vertelt over de grafiek van de functie. (Dit is waarschijnlijk de reden waarom het idee is nooit getest op de AP Calculus examens.)

toch is er een aantal calculus te leren hier. U kunt een aantal vragen voor uw studenten om te onderzoeken over dit onderwerp te vinden. Dit is wat ik heb vastgesteld.

voordat we beginnen, zijn hier twee termen die nuttig zijn, maar niet vaak worden gebruikt.

  • Een even verticale asymptoot is er een waarbij de functie onbeperkt toeneemt of afneemt aan beide zijden van de asymptoot. Met andere woorden, als x a benadert, benadert de functie oneindigheid of negatieve oneindigheid van beide kanten. De functie F \ left (x \ right)=\frac{1} {{{{\left ({x-2} \ right)}}^{2}}}} heeft een even verticale asymptoot op x = 2. (Figuur 1)
  • een oneven verticale asymptoot is er een waarbij de functie aan de ene kant toeneemt zonder gebonden te zijn en aan de andere kant afneemt zonder gebonden te zijn. De functie g \ left (x \ right) = \frac{1}{{x-2}} heeft een oneven verticale asymptoot bij x = 2. (Figuur 2) evenzo hebben de raaklijnen, cotangenten, secanten en cosecans functies oneven verticale asymptoten.

als een functie een oneven verticale asymptoot heeft, dan zal zijn afgeleide een even verticale asymptoot hebben. (Vraag je leerlingen om uit te leggen waarom.)

als een functie een even verticale asymptoot heeft, dan zal zijn afgeleide een oneven verticale asymptoot hebben. (Vraag je leerlingen om uit te leggen waarom.)

de conversaties van deze twee statements zijn onwaar. Dat wil zeggen, een verticale asymptoot van de afgeleide wijst niet noodzakelijk op een asymptoot van de functie. De vangst is continuïteit.

continue functies

als de afgeleide bestaat op x = a, dan is de functie daar continu. Maar, aangezien we asymptoten van de afgeleide overwegen, kunnen we van de afgeleide alleen niet weten of de functie continu is waar de afgeleide een asymptoot heeft.

een eenvoudige cusp is een situatie waarin de grafiek op een uiterste punt raaklijn is aan een verticale lijn. Zie Figuur 3. (Of, je zou kunnen zeggen, de raaklijnen van elke kant zijn samenvallen. Hier zullen we de discussie beperken tot een verticale raaklijn.) Een continue functie die een cusp heeft zal een oneven verticale asymptoot op de grafiek van zijn afgeleide tonen.

een voorbeeld is\ displaystyle h \ left (x \ right)=\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right))}}^{2}}}}+1 die een cusp heeft op het punt (2,1). (Figuur 3).

een continue functie die een verticale raaklijn heeft, geen cusp, heeft een even verticale asymptoot op de grafiek van de afgeleide. Bijvoorbeeld, k \ left (x \ right) = {{\left ({x-2} \ right)}^{{1/3}}}+1 at (2,0) (Figuur 4).

Als u de grafiek van de afgeleide krijgt en deze toont een verticale asymptoot op x = a, en u weet dat de functie daar continu is, dan geeft

  • een oneven verticale asymptoot van de afgeleide cusp aan op de grafiek van de functie. Dit zal ook een extreme waarde zijn. (Vraag je leerlingen om uit te leggen waarom.)
  • een even verticale asymptoot van de afgeleide geeft een verticale raaklijn op de grafiek van de functie aan, maar geen extreme waarde. (Vraag je leerlingen om uit te leggen waarom.)

anders dan deze, is er geen gemakkelijke manier om te bepalen welke situatie een asymptoot op de afgeleide produceerde.

functies die niet continu zijn

als de functie niet continu is bij x = a, dan wordt het een stuk ingewikkelder.

  • als de functie niet continu is bij x = a, dan kan een even verticale asymptoot van de afgeleide wijzen op een oneven verticale asymptoot op de grafiek van de functie. Dat weten we niet zeker.
  • als de functie niet continu is bij x = a, dan kan een oneven verticale asymptoot van de afgeleide een even verticale asymptoot op de grafiek van de functie aangeven. Dat weten we niet zeker.

beschouw deze functie als: \ displaystyle z \ left (x \ right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right))}}^{2}}}}-1} { x2} \\ {\sqrt {{{{{\left ({x-2} \ right)}}^{2}}}}+1} {x \ ge 2} \ end{array}} \ right.

zie Figuur 5. De functie is gedefinieerd voor alle reële getallen en heeft een sprongdiscontinuïteit bij x = 2. De afgeleide heeft daar een oneven verticale asymptoot: \displaystyle \underset{{x\to 2-}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty en \displaystyle \underset{{x\to 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\Left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Vergelijk dit met h(x) hierboven.

in feite,\ displaystyle {h}' \ left (x \ right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right))}^{{-1/3}}}, x \ ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Stel je eens voor.

Plaats een reactie