Asymptoter og Avledede Kalkulus

X

Personvern & Informasjonskapsler

dette nettstedet bruker informasjonskapsler. Ved å fortsette godtar du bruken av dem. Lær mer, inkludert hvordan du kontrollerer informasjonskapsler.

Fikk Det!

Advertisements

Hva forteller en asymptote av derivatet om funksjonen? Hvordan vises asymptoter av en funksjon i grafen av derivatet?

en av mine mest leste innlegg Leser Derivatets Graf, først publisert for syv år siden. Den lange tittelen er » Her er grafen til derivatet; fortell meg om funksjonen.»Det forteller hvordan du raskt finner informasjon om grafen til en funksjon fra derivatets graf. Jeg mottok et spørsmål fra en leser nylig som spurte om asymptoter og derivatet, et emne som jeg ikke dekket i det innlegget. Så, jeg prøvde å finne forholdet. Det korte svaret er at en asymptote av derivatene ikke forteller deg mye om grafen til funksjonen. (Dette er sannsynligvis grunnen til at ideen aldri har blitt testet PÅ AP Kalkulus Eksamener.)

Likevel er det noe kalkulator som skal læres her. Du kan være i stand til å finne noen spørsmål for elevene å undersøke om dette emnet. Her er hva jeg bestemt.

Før vi begynner, her er to begreper som er nyttige, men ikke vanlig brukt.

  • en jevn vertikal asymptote er en som funksjonen øker eller avtar uten grense på begge sider av asymptoten. Med andre ord, når x nærmer seg a, nærmer funksjonen uendelig eller negativ uendelig fra begge sider. Funksjonen f \ venstre (x \ høyre)=\frac{1} {{{{{\venstre ({x-2} \ høyre)}}^{2}}}} har en jevn vertikal asymptote ved x = 2. (Figur 1)
  • en merkelig vertikal asymptote er en som funksjonen øker uten bundet på den ene siden og avtar uten bundet på den andre. Funksjonen g \ left (x \right)=\frac{1}{{x-2}} har en merkelig vertikal asymptote ved x = 2. (Figur 2) på Samme måte har tangent -, cotangent -, sekant-og cosekantfunksjonene odde vertikale asymptoter.

hvis en funksjon har en merkelig vertikal asymptote, vil dens derivat ha en jevn vertikal asymptote. (Be elevene forklare hvorfor.)

hvis en funksjon har en jevn vertikal asymptote, vil dens derivat ha en merkelig vertikal asymptote. (Be elevene forklare hvorfor.)

konversasjonene til disse to utsagnene er falske. Det vil si at en vertikal asymptote av derivatet ikke nødvendigvis indikerer en asymptote av funksjonen. Fangsten er kontinuitet.

Kontinuerlige Funksjoner

hvis derivatet eksisterer ved x = a, er funksjonen kontinuerlig der. Men siden vi vurderer asymptoter av derivatet, kan vi ikke vite fra derivatet alene hvis funksjonen er kontinuerlig der derivatet har en asymptote.

en enkel spiss er en situasjon der grafen på et ekstremt punkt er tangent til en vertikal linje. Se Figur 3. (Eller du kan si at tangentlinjene fra hver side er sammenfallende. Her vil vi begrense diskusjonen til en vertikal tangentlinje.) En kontinuerlig funksjon som har en spiss vil vise en merkelig vertikal asymptote på sin deriverte graf.

et eksempel er \displaystyle h\venstre (x \ høyre)=\sqrt {{{{{\venstre( {x-2} \ høyre)}}^{2}}}}+1 som har en spiss på punktet (2,1). (Figur 3).en kontinuerlig funksjon som har en vertikal tangentlinje, ikke en spiss, har en jevn vertikal asymptote på den deriverte grafen. For eksempel k \ venstre (x \høyre)={{\venstre ({x-2} \ høyre)}^{{1/3}}}+1 at (2,0) (Figur 4).

hvis du får grafen til derivatet og det viser en vertikal asymptote på x = a, og du vet at funksjonen er kontinuerlig der, så

  • en merkelig vertikal asymptote av derivatet indikerer cusp på grafen til funksjonen. Dette vil også være en ekstrem verdi. (Be elevene forklare hvorfor.)
  • en jevn vertikal asymptote av derivatet indikerer vertikal tangentlinje på grafen til funksjonen, men ikke en ekstrem verdi. (Be elevene forklare hvorfor.)

Annet enn disse, er det ingen enkel måte å fortelle hvilken situasjon som produserte en asymptote på derivatet.

Funksjoner som ikke er kontinuerlige

hvis funksjonen ikke er kontinuerlig ved x = a, blir det mye mer komplisert.

  • hvis funksjonen ikke er kontinuerlig ved x = a, kan en jevn vertikal asymptote av derivatet indikere en merkelig vertikal asymptote på grafen til funksjonen. Det er ingen måte å være sikker på.
  • hvis funksjonen ikke er kontinuerlig ved x = a, kan en merkelig vertikal asymptote av derivatet indikere en jevn vertikal asymptote på grafen til funksjonen. Det er ingen måte å være sikker på.

Vurder denne funksjonen: \displaystyle z\venstre( x \høyre)=\venstre\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{{{{\left( {x-2} \ right)}}^{2}}}}-1} {x2} \ \ {\sqrt {{{{{\venstre ({x-2} \ høyre)}}^{2}}}}+1} {x\ge 2} \ end{array}} \ høyre.

Se Figur 5. Funksjonen er definert for Alle Reelle tall og har et hopp diskontinuitet ved x = 2. Derivatet har en merkelig vertikal asymptote der: \displaystyle \underset{{x\til 2-}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\venstre( x \høyre)=-\infty'\left( x \right)=-\infty og \displaystyle \underset{{x\til 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\venstre( x \høyre)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Sammenlign dette med h (x) ovenfor.

faktisk \displaystyle {h}'\venstre (x \ høyre)={z}' \ venstre (x\høyre)= \ tfrac{2}{3} {{\venstre( {x-2} \ høyre)}^{{-1/3}}},x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Gå figur.

Legg igjen en kommentar