Asintoti e la Derivata

X

Privacy& Cookies

Questo sito utilizza dei cookies. Continuando, accetti il loro utilizzo. Ulteriori informazioni, tra cui come controllare i cookie.

Capito!

Pubblicità

Cosa ti dice un asintoto della derivata sulla funzione? Come appaiono gli asintoti di una funzione nel grafico della derivata?

Uno dei miei post più letti sta leggendo il grafico della derivata, pubblicato per la prima volta sette anni fa. Il titolo lungo è ” Ecco il grafico della derivata; parlami della funzione.”Dice come trovare rapidamente informazioni sul grafico di una funzione dal grafico della derivata. Recentemente ho ricevuto una domanda da un lettore che ha chiesto di asintoti e derivati, un argomento che non ho trattato in quel post. Così, ho cercato di trovare il rapporto. La risposta breve è che un asintoto delle derivate non ti dice molto sul grafico della funzione. (Questo è probabilmente il motivo per cui l’idea non è mai stata testata sugli esami di calcolo AP.)

Tuttavia, c’è qualche calcolo da imparare qui. Potresti essere in grado di trovare alcune domande per i tuoi studenti su questo argomento. Ecco cosa ho determinato.

Prima di iniziare, ecco due termini che sono utili, ma non comunemente usati.

  • Un asintoto verticale pari è quello per cui la funzione aumenta o diminuisce senza limiti su entrambi i lati dell’asintoto. In altre parole, quando x si avvicina a la funzione si avvicina all’infinito o all’infinito negativo da entrambi i lati. La funzione f \ left (x \right)= \ frac{1} {{{{{\left ({x-2} \ right)}}^{2}}}} ha un asintoto verticale pari a x = 2. (Figura 1)
  • Un asintoto verticale dispari è uno per cui la funzione aumenta senza legato da un lato e diminuisce senza legato dall’altro. La funzione g \ left (x \right)=\frac{1}{{x-2}} ha un asintoto verticale dispari a x = 2. (Figura 2) Allo stesso modo, le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante hanno asintoti verticali dispari.

Se una funzione ha un asintoto verticale dispari, la sua derivata avrà un asintoto verticale pari. (Chiedi ai tuoi studenti di spiegare perché.)

Se una funzione ha un asintoto verticale pari, allora la sua derivata avrà un asintoto verticale dispari. (Chiedi ai tuoi studenti di spiegare perché.)

Le conversazioni di queste due affermazioni sono false. Cioè, un asintoto verticale della derivata non indica necessariamente un asintoto della funzione. Il problema è la continuità.

Funzioni continue

Se la derivata esiste a x = a, allora la funzione è continua lì. Ma, poiché stiamo considerando gli asintoti della derivata, non possiamo sapere dalla derivata da sola se la funzione è continua dove la derivata ha un asintoto.

Una cuspide semplice è una situazione in cui in un punto estremo il grafico è tangente a una linea verticale. Vedere Figura 3. (O, si potrebbe dire, le linee tangenti da ciascun lato sono coincidenti. Qui limiteremo la discussione a una linea tangente verticale.) Una funzione continua che ha una cuspide mostrerà un asintoto verticale dispari sul grafico della sua derivata.

Un esempio è\ displaystyle h\left( x \right)=\sqrt{{{{{\left ({x-2} \ right)}}^{2}}}}+1 che ha una cuspide al punto (2,1). (Figura 3).

Una funzione continua che ha una linea tangente verticale non una cuspide, ha un asintoto verticale pari sul grafico della sua derivata. Ad esempio, k \ left (x \right)={{\left ({x-2} \ right)}^{{1/3}}}+1 a (2,0) (Figura 4).

Se ti viene dato il grafico della derivata e mostra un asintoto verticale a x = a, e sai che la funzione è continua lì, allora

  • un asintoto verticale dispari della derivata indica cuspide sul grafico della funzione. Questo sarà anche un valore estremo. (Chiedi ai tuoi studenti di spiegare perché.)
  • un asintoto verticale pari della derivata indica la linea tangente verticale sul grafico della funzione, ma non un valore estremo. (Chiedi ai tuoi studenti di spiegare perché.)

Oltre a questi, non esiste un modo semplice per dire quale situazione ha prodotto un asintoto sulla derivata.

Funzioni che non sono continue

Se la funzione non è continua a x = a, le cose diventano molto più complicate.

  • Se la funzione non è continua a x = a, allora un asintoto verticale pari della derivata può indicare un asintoto verticale dispari sul grafico della funzione. Non c’è modo di esserne sicuri.
  • Se la funzione non è continua a x = a, allora un asintoto verticale dispari della derivata può indicare un asintoto verticale pari sul grafico della funzione. Non c’è modo di esserne sicuri.

si Consideri la seguente funzione: \displaystyle z\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}}}-1} {x2} \\ {\sqrt{{{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}}}+1} {x\ge 2} \end{array}} \right.

Vedere Figura 5. La funzione è definita per tutti i numeri reali e ha una discontinuità di salto a x = 2. Il derivato è uno strano asintoto verticale c’: \displaystyle \underset{{x\to 2-}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty e \displaystyle \underset{{x\to 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Confronta questo con h (x) sopra.

infatti\displaystyle {h}'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Vai a capire.

Lascia un commento