aszimptoták és a származékos

x

Adatvédelem& cookie-k

Ez az oldal cookie-kat használ. A folytatással elfogadja azok használatát. Tudjon meg többet, beleértve a cookie-k vezérlését.

megvan!

reklámok

mit mond a derivált aszimptotája a funkcióról? Hogyan jelennek meg egy függvény aszimptotái a derivált grafikonján?

az egyik legolvasottabb bejegyzésem a derivált grafikonjának olvasása, amelyet először hét évvel ezelőtt tettek közzé. A hosszú cím: “Itt van a derivált grafikonja; mesélj a függvényről.”Azt mondja, hogyan lehet gyorsan információt találni a függvény grafikonjáról a derivált grafikonjáról. Nemrég kaptam egy kérdést egy olvasótól, amely az aszimptotákról és a származékról kérdezett, egy olyan témáról, amelyet nem fedtem le abban a bejegyzésben. Így, megpróbáltam megtalálni a kapcsolatot. A rövid válasz az, hogy a származékok aszimptotája nem sokat mond a függvény grafikonjáról. (Valószínűleg ez az oka annak, hogy az ötletet soha nem tesztelték az AP Kalkulus vizsgákon.)

ennek ellenére itt van néhány számítás, amelyet meg kell tanulni. Lehet, hogy talál néhány kérdést a hallgatók számára, hogy kivizsgálják ezt a témát. A következőt határoztam meg.

mielőtt elkezdenénk, itt van két kifejezés, amelyek hasznosak, de nem általánosan használt.

  • egy egyenletes függőleges aszimptota az, amelynél a funkció korlátozás nélkül növekszik vagy csökken az aszimptota mindkét oldalán. Más szavakkal, ahogy x közeledik a A függvény mindkét oldalról megközelíti a végtelent vagy a negatív végtelent. A F\left( x \right) = \ frac{1} {{{{\left ({x-2} \ right)}}^{2}}}} egyenletes függőleges aszimptotája van x = 2 – nél. (1. ábra)
  • páratlan függőleges aszimptota az, amelynél a függvény az egyik oldalon kötés nélkül növekszik, a másikon pedig kötés nélkül csökken. A g\left( x \right)=\frac{1}{{x-2}} függvény páratlan függőleges aszimptotával rendelkezik x = 2-nél. (2. ábra) Hasonlóképpen, az érintő, kotangens, szekáns és koszekáns függvények páratlan függőleges aszimptotákkal rendelkeznek.

Ha egy függvénynek páratlan függőleges aszimptotája van, akkor deriváltjának egyenletes függőleges aszimptotája lesz. (Kérd meg a tanulóidat, hogy magyarázzák el, miért.)

Ha egy függvénynek egyenletes függőleges aszimptotája van, akkor deriváltjának páratlan függőleges aszimptotája lesz. (Kérd meg a tanulóidat, hogy magyarázzák el, miért.)

e két állítás beszélgetései hamisak. Vagyis a derivált függőleges aszimptotája nem feltétlenül jelzi a függvény aszimptotáját. A fogás a folytonosság.

folytonos függvények

Ha a derivált X = a-nál létezik, akkor a függvény ott folytonos. De mivel a derivált aszimptotáit vesszük figyelembe, önmagában a deriváltból nem tudhatjuk, hogy a függvény folyamatos-e, ahol a deriváltnak aszimptotája van.

egy egyszerű csúcspont olyan helyzet, amelyben egy szélsőséges ponton a gráf érintője egy függőleges vonalnak. Lásd A 3. Ábrát. (Vagy mondhatnánk, hogy az érintő vonalak mindkét oldalról egybeesnek. Itt a vitát egy függőleges érintő vonalra korlátozzuk.) Egy folytonos függvény, amelynek csúcsa van, páratlan függőleges aszimptotát mutat deriváltjának grafikonján.

példa erre\ displaystyle h \ left (x \right)= \ sqrt {{{{\left( {x-2} \ right)}}^{2}}}}+1 amelynek csúcsa van a (2,1) ponton. (3. ábra).

olyan folytonos függvény, amelynek függőleges érintő vonala nem csúcspont, deriváltjának grafikonján egyenletes függőleges aszimptotája van. Például k \ left (x \right)={{\left( {x-2} \ right)}^{{1/3}}}+1 at (2,0) (4.ábra).

ha megadjuk a derivált grafikonját, és az X = A-nál függőleges aszimptotát mutat, és tudjuk, hogy a függvény ott folytonos, akkor

  • a derivált páratlan függőleges aszimptotája jelzi a függvény grafikonjának csúcspontját. Ez is extrém érték lesz. (Kérd meg a tanulóidat, hogy magyarázzák el, miért.)
  • a derivált egyenletes függőleges aszimptotája függőleges tangens vonalat jelez a függvény grafikonján, de nem extrém értéket. (Kérd meg a tanulóidat, hogy magyarázzák el, miért.)

ezeken kívül nincs egyszerű módja annak, hogy megmondjuk, milyen helyzetben keletkezett aszimptota a származékon.

nem folytonos függvények

Ha a függvény nem folytonos X = a-nál, akkor a dolgok sokkal bonyolultabbá válnak.

  • Ha a függvény nem folyamatos x = A-nál, akkor a derivált egyenletes függőleges aszimptotája páratlan függőleges aszimptotát jelezhet a függvény grafikonján. Nem lehet biztos benne.
  • Ha a függvény nem folytonos X = A-nál, akkor a derivált páratlan függőleges aszimptotája egyenletes függőleges aszimptotát jelezhet a függvény grafikonján. Nem lehet biztos benne.

Tekintsük ezt a funkciót: \displaystyle z \ left (x \right)= \ left \ { {\begin{array} {*{20}{c}} {\sqrt {{{{\left( {x-2} \ right)}}^{2}}}}-1} {x2} \ \ {\sqrt {{{{{\bal ({x-2} \ Jobb)}}^{2}}}}+1} {x\ge 2} \ end{array}} \ jobb.

Lásd az 5. ábrát. A függvény minden valós számra definiálva van, és ugrási folytonossága x = 2. A deriváltnak páratlan függőleges aszimptotája van: \displaystyle \underset{{x\to 2-}}{\mathop{{\lim}}\, {z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty és \displaystyle \underset{{x\to 2+}} {\mathop{{\lim}}}}\, {z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Hasonlítsa össze ezt a fenti h(x) értékkel.

valójában\displaystyle {h} ' \ left( x \ right) = {z}' \ left (x \right)=\tfrac{2}{3} {{\left( {x-2} \ right)}^{{-1/3}}},x \ ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Menj kitalálni.

Szólj hozzá!