Asymptotes et la Dérivée

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Qu’est-ce qu’une asymptote de la dérivée vous dit sur la fonction? Comment les asymptotes d’une fonction apparaissent-elles dans le graphique de la dérivée?

L’un de mes articles les plus lus est la lecture du graphique du dérivé, publié pour la première fois il y a sept ans. Le titre long est « Voici le graphique de la dérivée; parlez-moi de la fonction. »Il explique comment trouver rapidement des informations sur le graphe d’une fonction à partir du graphe de la dérivée. J’ai récemment reçu une question d’un lecteur qui posait des questions sur les asymptotes et la dérivée, un sujet que je n’ai pas abordé dans ce post. Alors, j’ai essayé de trouver la relation. La réponse courte est qu’une asymptote des dérivées ne vous dit pas grand-chose sur le graphique de la fonction. (C’est probablement pourquoi l’idée n’a jamais été testée lors des examens de calcul AP.)

Néanmoins, il y a du calcul à apprendre ici. Vous pourrez peut-être trouver quelques questions à poser à vos élèves sur ce sujet. Voici ce que j’ai déterminé.

Avant de commencer, voici deux termes qui sont utiles, mais pas couramment utilisés.

  • Une asymptote verticale égale est une asymptote pour laquelle la fonction augmente ou diminue sans limite des deux côtés de l’asymptote. En d’autres termes, à mesure que x s’approche de a, la fonction s’approche de l’infini ou de l’infini négatif des deux côtés. La fonction f\left(x\right) =\frac {1} {{{{{\left({x-2}\right)}}^{2}}}} a une asymptote verticale égale à x = 2. (Figure 1)
  • Une asymptote verticale impaire est une asymptote pour laquelle la fonction augmente sans limite d’un côté et diminue sans limite de l’autre. La fonction g\left(x\right)=\frac{1}{{x-2}} a une asymptote verticale impaire à x=2. (Figure 2) De même, les fonctions tangentes, cotangentes, sécantes et cosécantes ont des asymptotes verticales impaires.

Si une fonction a une asymptote verticale impaire, alors sa dérivée aura une asymptote verticale paire. (Demandez à vos élèves d’expliquer pourquoi.)

Si une fonction a une asymptote verticale paire, alors sa dérivée aura une asymptote verticale impaire. (Demandez à vos élèves d’expliquer pourquoi.)

Les inverses de ces deux énoncés sont fausses. Autrement dit, une asymptote verticale de la dérivée n’indique pas nécessairement une asymptote de la fonction. Le hic, c’est la continuité.

Fonctions continues

Si la dérivée existe à x=a, alors la fonction y est continue. Mais, puisque nous considérons les asymptotes de la dérivée, nous ne pouvons pas savoir à partir de la dérivée seule si la fonction est continue là où la dérivée a une asymptote.

Une cuspide simple est une situation dans laquelle, à un point extrême, le graphe est tangent à une ligne verticale. Voir Figure 3. (Ou, pourrait-on dire, les lignes tangentes de chaque côté coïncident. Ici, nous limiterons la discussion à une ligne tangente verticale.) Une fonction continue qui a une cuspide montrera une asymptote verticale impaire sur le graphe de sa dérivée.

Un exemple est \displaystyle h\left(x\right)=\sqrt{{{{{\left({x-2}\right)}}^{2}}}}+1 qui a une cuspide au point (2,1). (Figure 3).

Une fonction continue qui a une ligne tangente verticale et non une cuspide, a une asymptote verticale égale sur le graphe de sa dérivée. Par exemple, k\left(x\right) = {{\left({x-2}\right)}^{{1/3}}}+1 à (2,0) (Figure 4).

Si on vous donne le graphique de la dérivée et qu’il montre une asymptote verticale à x = a, et que vous savez que la fonction y est continue, alors

  • une asymptote verticale impaire de la dérivée indique une cuspide sur le graphique de la fonction. Ce sera également une valeur extrême. (Demandez à vos élèves d’expliquer pourquoi.)
  • une asymptote verticale paire de la dérivée indique une ligne tangente verticale sur le graphique de la fonction, mais pas une valeur extrême. (Demandez à vos élèves d’expliquer pourquoi.)

En dehors de ceux-ci, il n’y a pas de moyen facile de dire quelle situation a produit une asymptote sur la dérivée.

Fonctions qui ne sont pas continues

Si la fonction n’est pas continue à x =a, les choses deviennent beaucoup plus compliquées.

  • Si la fonction n’est pas continue à x = a, alors une asymptote verticale paire de la dérivée peut indiquer une asymptote verticale impaire sur le graphique de la fonction. Il n’y a aucun moyen d’en être sûr.
  • Si la fonction n’est pas continue à x = a, alors une asymptote verticale impaire de la dérivée peut indiquer une asymptote verticale paire sur le graphique de la fonction. Il n’y a aucun moyen d’en être sûr.

Considérez cette fonction: \displaystyle z\left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt{{{{{\left({x-2}\right)}}^{2}}}}-1} { x2} \\{\sqrt{{{{{\\ gauche({x-2}\ droite)}}^{2}}}}+1} { x\ge 2}\end {array}}\ right.

Voir Figure 5. La fonction est définie pour tous les nombres réels et a une discontinuité de saut à x = 2. La dérivée y a une asymptote verticale impaire : \displaystyle\underset{{x\to 2-}}{\mathop{{\lim}}}\, {z}'\left(x\right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty et \displaystyle\underset{{x\to 2+}}{\mathop{{\lim}} }\, {z}'\left(x\right) = -\infty'\left( x \right)=-\infty . Comparez cela avec h(x) ci-dessus.

En fait, \displaystyle{h}'\left(x\right) ={z}'\left(x\right) =\tfrac{2}{3}{{\left({x-2}\right)}^{{-1/3}}}, x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Allez comprendre.

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