Asíntotas y Derivados

X

Privacidad & Cookies

Este sitio utiliza cookies. Al continuar, usted acepta su uso. Obtenga más información, incluido cómo controlar las cookies.

¡Lo tengo!

Anuncios

¿Qué hace una asíntota de la derivada decirle a usted acerca de la función? ¿Cómo aparecen las asíntotas de una función en el gráfico de la derivada?

Una de mis publicaciones más leídas es Leer el Gráfico de la Derivada, publicado por primera vez hace siete años. El título largo es » Aquí está la gráfica de la derivada; háblame de la función.»Indica cómo encontrar rápidamente información sobre el gráfico de una función a partir del gráfico de la derivada. Recientemente recibí una pregunta de un lector que me preguntó sobre las asíntotas y el derivado, un tema que no cubrí en ese post. Así que intenté encontrar la relación. La respuesta corta es que una asíntota de las derivadas no le dice mucho sobre el gráfico de la función. (Esta es probablemente la razón por la que la idea nunca se ha probado en los Exámenes de Cálculo AP.)

Sin embargo, hay algunos cálculos que aprender aquí. Es posible que pueda encontrar algunas preguntas para que sus estudiantes investiguen sobre este tema. Esto es lo que determiné.

Antes de comenzar, aquí hay dos términos que son útiles, pero que no se usan comúnmente.

  • Una asíntota vertical uniforme es aquella en la que la función aumenta o disminuye sin límite a ambos lados de la asíntota. En otras palabras, a medida que x se acerca a a, la función se acerca al infinito o al infinito negativo desde ambos lados. La función f\left( x \right)=\frac{1}{{{{{\left( {x 2} \right)}}^{2}}}} tiene incluso una asíntota vertical en x = 2. (Figura 1)
  • Una asíntota vertical impar es aquella en la que la función aumenta sin estar enlazada en un lado y disminuye sin estar enlazada en el otro. La función g \ left (x \ right) = \frac{1}{{x-2}} tiene una asíntota vertical impar en x = 2. (Figura 2) Asimismo, las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante tienen asíntotas verticales impares.

Si una función tiene una extraña asíntota vertical, entonces su derivada se tienen incluso una asíntota vertical. (Pídales a sus estudiantes que expliquen por qué.)

Si una función tiene una asíntota vertical par, entonces su derivada tendrá una asíntota vertical impar. (Pídales a sus estudiantes que expliquen por qué.)

Los opuestos de estas dos sentencias son falsos. Es decir, una asíntota vertical de la derivada no indica necesariamente una asíntota de la función. La trampa es la continuidad.

Funciones Continuas

Si la derivada existe en x = a, entonces la función es continua allí. Pero, ya que estamos considerando asíntotas de la derivada, no podemos saber solo de la derivada si la función es continua donde la derivada tiene una asíntota.

Una cúspide simple es una situación en la que en un punto extremo el gráfico es tangente a una línea vertical. Véase la Figura 3. (O, se podría decir, las líneas tangentes de cada lado son coincidentes. Aquí limitaremos la discusión a una línea tangente vertical.) Una función continua que tiene una cúspide mostrará una asíntota vertical impar en el gráfico de su derivada.

Un ejemplo es el\displaystyle h\left( x \right)=\sqrt{{{{{\left( {x 2} \right)}}^{2}}}}+1 que tiene una cúspide en el punto (2,1). (Figura 3).

Una función continua que tiene una recta tangente vertical, no una cúspide, tiene una asíntota vertical uniforme en el gráfico de su derivada. Por ejemplo, k\left (x \ right) = {{\left ({x-2} \ right)}^{{1/3}}}+1 at (2,0) (Figura 4).

Si se le da el gráfico de la derivada y muestra una asíntota vertical en x = a, y sabe que la función es continua allí, entonces

  • una asíntota vertical impar de la derivada indica cúspide en el gráfico de la función. Esto también será un valor extremo. (Pídales a sus estudiantes que expliquen por qué.)
  • una asíntota vertical uniforme de la derivada indica una línea tangente vertical en el gráfico de la función, pero no un valor extremo. (Pídales a sus estudiantes que expliquen por qué.)

Aparte de estos, no hay una manera fácil de saber qué situación produjo una asíntota en la derivada.

Funciones que no son continuas

Si la función no es continua en x = a, entonces las cosas se complican mucho más.

  • Si la función no es continua en x = a, entonces una asíntota vertical par de la derivada puede indicar una asíntota vertical impar en el gráfico de la función. No hay manera de estar seguro.
  • Si la función no es continua en x = a, entonces una asíntota vertical impar de la derivada puede indicar una asíntota vertical par en el gráfico de la función. No hay manera de estar seguro.

Considere esta función: \displaystyle z\left( x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{{\left( {x 2} \right)}}^{2}}}}-1} {x2} \\ {\sqrt{{{{{\left( {x 2} \right)}}^{2}}}}+1} {x\ge 2} \end{array}} \right.

Ver Figura 5. La función está definida para todos los números Reales y tiene una discontinuidad de salto en x = 2. El derivado tiene una extraña asíntota vertical ahí: \displaystyle \underset{{x\2}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty y \displaystyle \underset{{x\a 2+}}{\mathop{{\lim }}}\,{z}'\left( x \right)=-\infty'\left( x \right)=-\infty . Compare esto con h(x) anterior.

De hecho,\displaystyle {h}'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x 2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2'\left( x \right)={z}'\left( x \right)=\tfrac{2}{3}{{\left( {x-2} \right)}^{{-1/3}}},x\ne 2. Imagínate.

Deja un comentario